工程数学|天天观察
PS:
(资料图)
这里是一份数学笔记，教程是DR_CAN 专栏 的纯干货傅里叶变换 和 工程数学基础
原始笔记链接：https://www.yuque.com/hebau_study/we0acf/fqcahaqq6exq3ib1?singleDoc# 《工程数学》
本笔记仅做同步，更新会更新在上述链接，这里有讨论区，方便留言~
下面正文
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这里是自控预备知识......
自控—>动态系统的建模与分析—>傅里叶变换/卷积
算了，干脆看完工程数学吧，省的再回来...
幸亏学校开过复变函数与积分变换...
傅里叶变换
傅里叶级数
周期函数展开为正弦函数
会解题，此部分不看，但看必须手动推导
已知某弹簧系统如右下图所示，所施加的f(t)如左图所示，请用正弦函数表示，并绘制相应波形图
答案
理解
基的理解，可以说是解决线性问题基本。
从巴拿赫空间和希尔伯特空间入手去理解函数，向量，线性，结果会发现傅立叶变换真的很普通，和空间中求点的坐标无异。
函数是向量或者矩阵。两个函数乘积的积分就是两个向量的内积，内积就是投影。
傅立叶变换，其实是向量在一组基上的投影，得到每个方向的值。
推导
几种常用形式
-Pi到Pi形式
一般形式
工程上形式
复数形式
欧拉公式证明
好像挺简单的，直接构造。
就是想不到，不过也不怪人，自己对导数性质不熟，导数等于零原函数为常数...
傅氏变换复数推导
欧拉公式表示正余弦后带入f(t)，用工程上公式向下推导，分类讨论总结Cn进行统一表达。
傅里叶变换
将T趋向于无穷，化为非周期函数，引出傅里叶变换
特征值与特征向量
定义
求法
I是单位矩阵，在控制理论中常用，数学中用E
应用
P是过度矩阵
求解微分方程
线性化方法
线性系统
线性化
线性化是在某一点附近的线性化，不是全局的
下面是函数在某点的泰勒展开，一种近似代替原函数的工具
一维线性化
平衡点指的是二阶导数取0值的点
二维线性化
雅克比矩阵
https://www.bilibili.com/video/BV1NJ411r7ja/?spm_id_from=333.788&vd_source=3e9e4d419c72162a0368697e4e910837
概念
在向量分析中，雅可比矩阵（也称作Jacobi矩阵，英语：Jacobian matrix）是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵。
表示法
雅可比矩阵
例题
线性时不变系统的冲激响应与卷积
线性时不变系统
任何LTI系统都可以完全用一个单一方程来表示，称为系统的冲激响应。
系统的输出可以简单表示为输入信号与系统的冲激响应的卷积。这种分析方法通常称为时域观点。
卷积
卷积意义（到底是什么）
下面是在用单位冲激响应的输入函数表达下面左上图的输入函数，从而求出对应的系统相应函数
从而说明：
每个系统有它特定的传递函数
采集系统的冲激响应，理论上此时的冲激响应等价于此系统下的传递函数
用指定输入与此时的传递函数进行卷积的结果，即看做指定输入在指定系统下做出的输出
线性定长系统（LTI）可以由传递函数H(s)完全定义
卷积的拉普拉斯变换
这里很简单，但是要自己推一遍
这个证明也充分说明定义的重要性，在学习时候发现好多同学弹幕问为什么，最后面就是定义呀，对概念掌握不清是很不利于学习的，警告自己重视基础。
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